Proceso de ramificación en complejos celulares

Simulación estocástica de un sistema de partículas con ramificación y aniquilación sobre el complejo cúbico $\mathbb{Z}^d$, restringido a una caja finita. Proyecto del curso Simulación Estocástica (Ingeniería Civil Matemática, Universidad de Chile, Primavera 2026) en conjunto con Bruno Guevara, basado en el trabajo en preparación Branching process on complexes de D. Cid y A. Sepúlveda.

El modelo

Una configuración $\theta \in \mathbb{Z}^{E^+}$ asigna a cada arista una cantidad entera de partículas con signo. En cada evento, una partícula sobre la arista $e$ elige una cara $f$ que la contiene: la partícula se aniquila y nacen partículas en el resto del borde de $f$,

$$\theta \longmapsto \theta - \langle e, \partial f\rangle \text{sgn}(\theta_e), \partial f .$$

Las partículas de signo opuesto que caen en una misma arista se aniquilan, y las que llegan a un conjunto absorbente $T$ mueren. El generador cumple $\mathcal{L} I(\theta) = -\Delta_1^{\uparrow}\theta$, donde $\Delta_1^{\uparrow}$ es el Laplaciano de Hodge superior.

Qué hace el notebook

1. Complejo cúbico y operadores. Construye vértices, aristas y caras de la caja $[0,n_1]\times\cdots\times[0,n_d]$ en coordenadas dobladas (solo enteros), para cualquier dimensión $d$. Arma $\partial_1$, $\partial_2$ y $\Delta_1 = \Delta_1^{\downarrow} + \Delta_1^{\uparrow}$ como matrices dispersas (SciPy).
2. Condiciones de absorción. Absorción en un árbol generador (el caso del paper), en el borde de la caja o sin absorción. Incluye un árbol generador que evita la condición inicial.
3. Motor estocástico. Simulación exacta en tiempo continuo (algoritmo de Gillespie), con actualizaciones locales $O(1)$ y registro de la trayectoria independiente del tamaño de la caja.
4. Configuraciones iniciales y reconstrucción de la trayectoria a partir del proceso de alturas.
5. Visualización en 2D y 3D.
6. Videos en $\mathbb{Z}^2$ y $\mathbb{Z}^3$, y una observación sobre la meseta cuasi-estacionaria en 3D.
7. Condición inicial: cuadrado y cubo. Ocho escenarios que combinan la dimensión (2D o 3D), la condición inicial (unitaria o bloque de lado 3 aleatorio) y la absorción (árbol o borde de la caja).
8. Probabilidad de extinción. Funciones de supervivencia $\mathbb{P}(\tau>t)$ y tasas de la cola, calculadas con miles de réplicas reproducibles en paralelo (joblib). Se varía la condición inicial, el número de partículas, el tamaño de la caja, el conjunto absorbente, el reloj y la dimensión. Resultado principal: con el árbol fijo, la tasa de extinción no depende de la condición inicial y coincide con la constante de Poincaré, $\gamma(T)\approx c'(T)$ (correlación 0.95 en 40 árboles).

Las verificaciones de la teoría ($\partial\partial=0$, el drift $-\Delta^{\uparrow}\theta$, la cota de Lyapunov del Teorema 2.1 y Poincaré) y la explicación detallada del código están en el documento de explicación (PDF).

Videos

Video	Descripción
ramificacion_arbol.mp4	$\mathbb{Z}^2$, absorción en un árbol generador aleatorio
ramificacion_borde.mp4	$\mathbb{Z}^2$, absorción en el borde de la caja, partiendo de un lazo
ramificacion_3d_arbol.mp4	$\mathbb{Z}^3$, una sola partícula inicial, absorción en un árbol
ramificacion_3d_borde.mp4	$\mathbb{Z}^3$, absorción en la superficie de la caja
inicial_cuadrado_arbol.mp4	$\mathbb{Z}^2$, cuadrado unitario ($+1$ en sus 4 aristas), absorción en un árbol
inicial_cuadrado_borde.mp4	$\mathbb{Z}^2$, cuadrado unitario, absorción en el borde de la caja
inicial_bloque2d_arbol.mp4	$\mathbb{Z}^2$, bloque $3\times3$ con aristas ocupadas al azar ($p=1/2$), absorción en un árbol
inicial_bloque2d_borde.mp4	$\mathbb{Z}^2$, bloque $3\times3$ aleatorio, absorción en el borde de la caja
inicial_cubo_arbol.mp4	$\mathbb{Z}^3$, cubo unitario ($+1$ en sus 12 aristas), absorción en un árbol
inicial_cubo_borde.mp4	$\mathbb{Z}^3$, cubo unitario, absorción en la superficie de la caja
inicial_bloque3d_arbol.mp4	$\mathbb{Z}^3$, bloque $3\times3\times3$ aleatorio, absorción en un árbol
inicial_bloque3d_borde.mp4	$\mathbb{Z}^3$, bloque $3\times3\times3$ aleatorio, absorción en la superficie de la caja

Cómo ejecutarlo

pip install numpy scipy matplotlib jupyter
jupyter notebook branching_process_complexes.ipynb

Para generar los videos se necesita además ffmpeg.

Referencias

• D. Cid, A. Sepúlveda. Branching process on complexes, borrador (2026).
• S. Mukherjee, J. Steenbergen. Random walks on simplicial complexes and harmonics, Random Structures & Algorithms (2016).
• T. M. Liggett. Interacting Particle Systems, Springer (1985).
• D. T. Gillespie. Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions, J. Phys. Chem. (1977).

Autores: Martín Maturana Acevedo y Bruno Guevara