补充间接平差例题

Author: Linho1219

测绘工程/误差理论与测量平差/6-间接平差.md

@@ -265,6 +265,185 @@ $$
 \hat{\boldsymbol L}=\boldsymbol L+\boldsymbol V
 $$
 
+::: example
+
+为确定某一抛物线方程 $y^2=ax$，观测了 4 组数据，且 $x_i$ 无误差，$y_i$ 为相互独立的等精度观测值，试用间接平差求：
+
+1. 该抛物线方程；
+2. 待定系数 $\hat a$ 的中误差。
+
+| 点号 | $x$/cm | $y$/cm |
+| ---- | ------ | ------ |
+| 1    | 1      | 1.90   |
+| 2    | 2      | 2.70   |
+| 3    | 3      | 3.35   |
+| 4    | 4      | 4.32   |
+
+---
+
+依题意，有 $n=4,t=1,r=n-t=3$。
+
+令 $\varGamma=\sqrt a$，则
+
+$$
+\hat y_i=\hat\varGamma\sqrt{x_i}
+$$
+
+有
+
+$$
+\hat{\boldsymbol L}=\boldsymbol B\hat\varGamma
+$$
+
+其中
+
+$$
+\boldsymbol L=
+\begin{bmatrix}
+1.90 \\
+2.70 \\
+3.35 \\
+4.32
+\end{bmatrix},
+\quad
+\boldsymbol B=
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+\sqrt2 \\
+\sqrt3 \\
+2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+取近似值
+
+$$
+\varGamma_0=\frac14\sum\frac{y_i}{\sqrt{x_i}}=1.97583
+$$
+
+设
+
+$$
+\hat\varGamma=\varGamma_0+\hat\lambda
+$$
+
+因观测值等精度，故
+
+$$
+\boldsymbol P=\boldsymbol I
+$$
+
+误差方程为
+
+$$
+\boldsymbol V=\boldsymbol B\hat\lambda-\boldsymbol l
+$$
+
+其中
+
+$$
+\boldsymbol l=\boldsymbol L-\boldsymbol B\varGamma_0=
+\begin{bmatrix}
+-0.07583 \\
+-0.09455 \\
+-0.07224 \\
+0.36834
+\end{bmatrix}
+$$
+
+法方程为
+
+$$
+\boldsymbol N_{bb}\hat\lambda-\boldsymbol U=0
+$$
+
+其中
+
+$$
+\begin{gathered}
+\boldsymbol N_{bb}=\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol P\boldsymbol B
+=\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol B=10 \\
+\boldsymbol U=\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol P\boldsymbol l
+=\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol l=0.40245
+\end{gathered}
+$$
+
+故
+
+$$
+\hat\lambda=\boldsymbol N_{bb}^{-1}\boldsymbol U
+=\frac1{10}\times0.40245=0.04025
+$$
+
+于是
+
+$$
+\begin{gathered}
+\hat a=\hat\varGamma^2=4.06458 \\
+\hat\varGamma=\varGamma_0+\hat\lambda=2.01608
+\end{gathered}
+$$
+
+又有
+
+$$
+\boldsymbol Q_{\hat\lambda\hat\lambda}=\boldsymbol N_{bb}^{-1}=\frac1{10}
+$$
+
+改正数为
+
+$$
+\boldsymbol V=\boldsymbol B\hat\lambda-\boldsymbol l=
+\begin{bmatrix}
+0.11608 \\
+0.15117 \\
+0.14195 \\
+-0.28784
+\end{bmatrix}
+$$
+
+单位权方差估值为
+
+$$
+\hat\sigma_0^2
+=\frac{\boldsymbol V^{\rm T}\boldsymbol P\boldsymbol V}{r}
+=\frac{\boldsymbol V^{\rm T}\boldsymbol V}{3}
+=0.04644
+$$
+
+由误差传播定律，
+
+$$
+\boldsymbol Q_{\hat a\hat a}
+=(2\hat\varGamma)^2\boldsymbol Q_{\hat\lambda\hat\lambda}
+=1.62583
+$$
+
+故
+
+$$
+D_{\hat a\hat a}
+=\hat\sigma_0^2\boldsymbol Q_{\hat a\hat a}
+=0.07550
+=\sigma_{\hat a}^2
+$$
+
+因此
+
+$$
+\sigma_{\hat a}=\sqrt{\sigma_{\hat a}^2}=0.27478
+$$
+
+综上，有
+
+$$
+\hat a=4.065,\quad \sigma_{\hat a}=0.275
+$$
+
+抛物线方程近似为 $y^2=4.065x$。
+
+:::
+
 ## 应用要点
 
 - 测边网：参数取待定点坐标，观测方程为边长函数，对坐标线性化后列误差方程