间接平差拆分

Author: Linho1219

测绘工程/误差理论与测量平差/8-间接平差.md

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 \boldsymbol D_{\hat F\hat F}=\hat\sigma_0^2\boldsymbol Q_{\hat F\hat F}
 $$
 
-## 附有限制条件的间接平差
-
-### 模型
-
-$$
-\begin{cases}
-\hat{\boldsymbol L}=\boldsymbol B\hat{\boldsymbol X}+\boldsymbol d \\
-\boldsymbol C\hat{\boldsymbol X}+\boldsymbol C_0=\boldsymbol 0
-\end{cases}
-$$
-
-令
-
-$$
-\hat{\boldsymbol X}=\boldsymbol X_0+\hat{\boldsymbol x},
-\quad
-\boldsymbol l=\boldsymbol L-\boldsymbol B\boldsymbol X_0-\boldsymbol d,
-\quad
-\boldsymbol W_x=-(\boldsymbol C\boldsymbol X_0+\boldsymbol C_0)
-$$
-
-得
-
-$$
-\begin{cases}
-\boldsymbol V=\boldsymbol B\hat{\boldsymbol x}-\boldsymbol l \\
-\boldsymbol C\hat{\boldsymbol x}-\boldsymbol W_x=\boldsymbol 0
-\end{cases}
-$$
-
-### 解算
-
-由最小二乘与拉格朗日法可得块法方程
-
-$$
-\begin{bmatrix}
-\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol P\boldsymbol B & \boldsymbol C^{\rm T} \\
-\boldsymbol C & \boldsymbol 0
-\end{bmatrix}
-\begin{bmatrix}
-\hat{\boldsymbol x} \\
-\boldsymbol k
-\end{bmatrix}
-=
-\begin{bmatrix}
-\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol P\boldsymbol l \\
-\boldsymbol W_x
-\end{bmatrix}
-$$
-
-解出 $\hat{\boldsymbol x}$ 后仍有
-
-$$
-\boldsymbol V=\boldsymbol B\hat{\boldsymbol x}-\boldsymbol l,\quad
-\hat{\boldsymbol X}=\boldsymbol X_0+\hat{\boldsymbol x},\quad
-\hat{\boldsymbol L}=\boldsymbol L+\boldsymbol V
-$$
-
-::: example
-
-为确定某一抛物线方程 $y^2=ax$，观测了 4 组数据，且 $x_i$ 无误差，$y_i$ 为相互独立的等精度观测值，试用间接平差求：
-
-1. 该抛物线方程；
-2. 待定系数 $\hat a$ 的中误差。
-
-| 点号 | $x$/cm | $y$/cm |
-| ---- | ------ | ------ |
-| 1    | 1      | 1.90   |
-| 2    | 2      | 2.70   |
-| 3    | 3      | 3.35   |
-| 4    | 4      | 4.32   |
-
----
-
-依题意，有 $n=4,t=1,r=n-t=3$。
-
-令 $\varGamma=\sqrt a$，则
-
-$$
-\hat y_i=\hat\varGamma\sqrt{x_i}
-$$
-
-有
-
-$$
-\hat{\boldsymbol L}=\boldsymbol B\hat\varGamma
-$$
-
-其中
-
-$$
-\boldsymbol L=
-\begin{bmatrix}
-1.90 \\
-2.70 \\
-3.35 \\
-4.32
-\end{bmatrix},
-\quad
-\boldsymbol B=
-\begin{bmatrix}
-1 \\
-\sqrt2 \\
-\sqrt3 \\
-2
-\end{bmatrix}
-$$
-
-取近似值
-
-$$
-\varGamma_0=\frac14\sum\frac{y_i}{\sqrt{x_i}}=1.97583
-$$
-
-设
-
-$$
-\hat\varGamma=\varGamma_0+\hat\lambda
-$$
-
-因观测值等精度，故
-
-$$
-\boldsymbol P=\boldsymbol I
-$$
-
-误差方程为
-
-$$
-\boldsymbol V=\boldsymbol B\hat\lambda-\boldsymbol l
-$$
-
-其中
-
-$$
-\boldsymbol l=\boldsymbol L-\boldsymbol B\varGamma_0=
-\begin{bmatrix}
--0.07583 \\
--0.09455 \\
--0.07224 \\
-0.36834
-\end{bmatrix}
-$$
-
-法方程为
-
-$$
-\boldsymbol N_{bb}\hat\lambda-\boldsymbol U=0
-$$
-
-其中
-
-$$
-\begin{gathered}
-\boldsymbol N_{bb}=\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol P\boldsymbol B
-=\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol B=10 \\
-\boldsymbol U=\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol P\boldsymbol l
-=\boldsymbol B^{\rm T}\boldsymbol l=0.40245
-\end{gathered}
-$$
-
-故
-
-$$
-\hat\lambda=\boldsymbol N_{bb}^{-1}\boldsymbol U
-=\frac1{10}\times0.40245=0.04025
-$$
-
-于是
-
-$$
-\begin{gathered}
-\hat a=\hat\varGamma^2=4.06458 \\
-\hat\varGamma=\varGamma_0+\hat\lambda=2.01608
-\end{gathered}
-$$
-
-又有
-
-$$
-\boldsymbol Q_{\hat\lambda\hat\lambda}=\boldsymbol N_{bb}^{-1}=\frac1{10}
-$$
-
-改正数为
-
-$$
-\boldsymbol V=\boldsymbol B\hat\lambda-\boldsymbol l=
-\begin{bmatrix}
-0.11608 \\
-0.15117 \\
-0.14195 \\
--0.28784
-\end{bmatrix}
-$$
-
-单位权方差估值为
-
-$$
-\hat\sigma_0^2
-=\frac{\boldsymbol V^{\rm T}\boldsymbol P\boldsymbol V}{r}
-=\frac{\boldsymbol V^{\rm T}\boldsymbol V}{3}
-=0.04644
-$$
-
-由误差传播定律，
-
-$$
-\boldsymbol Q_{\hat a\hat a}
-=(2\hat\varGamma)^2\boldsymbol Q_{\hat\lambda\hat\lambda}
-=1.62583
-$$
-
-故
-
-$$
-D_{\hat a\hat a}
-=\hat\sigma_0^2\boldsymbol Q_{\hat a\hat a}
-=0.07550
-=\sigma_{\hat a}^2
-$$
-
-因此
-
-$$
-\sigma_{\hat a}=\sqrt{\sigma_{\hat a}^2}=0.27478
-$$
-
-综上，有
-
-$$
-\hat a=4.065,\quad \sigma_{\hat a}=0.275
-$$
-
-抛物线方程近似为 $y^2=4.065x$。
-
-:::
-
 ## 应用要点
 
 - 测边网：参数取待定点坐标，观测方程为边长函数，对坐标线性化后列误差方程