补充权阵例题

Author: Linho1219

测绘工程/误差理论与测量平差/3-协因数阵与权阵.md

@@ -49,7 +49,7 @@
 - 距离观测量的权与观测的路线长度成反比
 - 等精度观测所有权相等，通常定为 1
 
-## 协因数阵
+## 权阵与协因数阵
 
 前面提到我们定义权 $p_i=\dfrac{\sigma_0^2}{\sigma_i^2}$。现在我们也将其扩展到 $n$ 维：
 
@@ -62,6 +62,8 @@ $$
 
 $\boldsymbol P_{xx}$ 称为**权阵**，$\boldsymbol Q_{xx}=\dfrac1{\sigma_0^2}\boldsymbol D_{xx}$ 称为**协因数阵**，也称**权逆阵**。权阵与协因数阵互为逆矩阵。
 
+### 协因数阵
+
 定义协因数阵中的元素为**协因数** $Q_{ij}=\dfrac{\sigma_{ij}}{\sigma_0^2}$。
 
 $$
@@ -120,7 +122,7 @@ $$
 - 通常不是方阵（$n=m$ 时是方阵）
 - $\boldsymbol Q_{xy}=\boldsymbol O$ 时 $\boldsymbol x,\boldsymbol y$ 不相关
 
-## 权阵
+### 权阵
 
 前面提到权阵 $\boldsymbol P_{xx}$ 是协因数阵 $\boldsymbol Q_{xx}$ 的逆矩阵，因此有
 
@@ -199,8 +201,9 @@ $$
 
 > [!important]
 >
-> **协因数**
-> 与 **权** 互为倒数， **协因数阵** 与 **权阵** 互为逆矩阵
+> **辨析**
+>
+> **协因数** 与 **权** 互为倒数， **协因数阵** 与 **权阵** 互为逆矩阵
 >
 > - 对于**独立观测向量**
 >   - $\boldsymbol D_{xx},\boldsymbol Q_{xx},\boldsymbol P_{xx}$ 是对角阵
@@ -235,3 +238,116 @@ $$
 \boldsymbol Q_{wf}=\boldsymbol {CQ}_{yx}\boldsymbol A^{\rm T} \\
 \end{array}
 $$
+
+::: example
+
+已知观测值向量 $L=[L_1\ L_2]^{\rm T}$ 的权阵为
+
+$$
+P_{LL}=
+\begin{bmatrix}
+0.4 & 0.2\\
+0.2 & 0.6
+\end{bmatrix}
+$$
+
+观测值 $L_1$ 的中误差 $\sigma_{L_1}=3$，试求：
+
+1. 函数 $x=L_1L_2-4$ 的方差；
+
+2. 函数 $y=2L_1+L_2-4$ 与 $z=3L_2$，求函数 $y$ 和 $z$ 的方差，以及二者的协方差。
+
+---
+
+**1.**
+
+对权阵求逆得到协因数阵
+
+$$
+\boldsymbol Q_{LL}=\boldsymbol P_{LL}^{-1}=\begin{bmatrix}
+3 & -1\\
+-1 & 2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+则有
+
+$$
+\sigma_{L_1}^2=Q_{L_1}\sigma_0^2=3\sigma_0^2=9\Rightarrow\sigma_0=3
+$$
+
+$$
+\boldsymbol D_{LL}=\sigma_0^2\boldsymbol Q_{LL}=\begin{bmatrix}
+9 & -3\\
+-3 & 6
+\end{bmatrix}
+$$
+
+对函数 $x$ 线性化有
+
+$$
+\mathrm dx=L_2\mathrm dL_1+L_1\mathrm dL_2=\begin{bmatrix}
+L_2&L_1
+\end{bmatrix}\mathrm d\begin{bmatrix}
+L_1\\L_2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+则令系数阵 $\boldsymbol K=\begin{bmatrix}L_2&L_1\end{bmatrix}$，有
+
+$$
+\begin{aligned}
+\boldsymbol D_{xx}&=\boldsymbol K\boldsymbol D_{LL}\boldsymbol K^{\rm T} \\
+&=\begin{bmatrix}
+L_2&L_1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+9 & -3\\
+-3 & 6
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+L_2\\L_1
+\end{bmatrix} \\
+&=6L_1^2-6L_1L_2+9L_2^2
+\end{aligned}
+$$
+
+**2.**
+
+$$
+\begin{gathered}
+y=2L_1+L_2-4 \Rightarrow \boldsymbol A=\begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix} \\
+D_y=\boldsymbol A\boldsymbol D_{LL}\boldsymbol A^{\rm T}=
+\begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+9 & -3\\
+-3 & 6
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+2\\
+1
+\end{bmatrix}
+=30
+\end{gathered}
+$$
+
+$$
+\begin{gathered}
+z=3L_2\Rightarrow \boldsymbol B=\begin{bmatrix}0&3\end{bmatrix}\\
+D_z=3^2D(L_2)=9\times 6=54
+\end{gathered}
+$$
+
+$$
+D_{yz}=\boldsymbol A\boldsymbol D_{LL}\boldsymbol B^{\rm T}=\begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+9 & -3\\
+-3 & 6
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+0\\
+3
+\end{bmatrix}=0
+$$
+
+:::